3.3. De vermenigvuldigingsregel (leer deze goed!)

We zijn nu aanbeland bij de belangrijkste regel voor alle doeleinden van onze studie. Het is de tweede van de twee genoemde principes. Laten we teruggaan naar de tien genummerde munten. Waarom is er slechts een kans van één op honderd dat we in twee opeenvolgende trekkingen eerst de nummer 1 munt zouden trekken en dan de nummer 2 munt?

Het hierbij betrokken principe is het volgende, zoals duidelijk uitgelegd door Adler: "Splits het experiment op in een reeks van kleine stappen. Tel het aantal mogelijke uitkomsten voor elke stap. Vermenigvuldig dan deze getallen." [1] Deze belangrijke "vermenigvuldigingsregel" wordt vaak gebruikt wanneer de verschillende uitkomsten van een bepaalde stap allemaal even waarschijnlijk zijn en de stappen onafhankelijk van elkaar zijn.

In het experiment met de tien gelijkwaardige munten die van één tot en met tien genummerd zijn, willen we weten wat de kans is dat we in de eerste trekking nummer 1 trekken, gevolgd door de munt met nummer 2 in de tweede poging. Verdeel dit in stappen zoals Adler suggereert. Onze eerste stap zal dan bestaan uit het trekken van één munt. Er zijn tien verschillende resultaten die we in die eerste trekking zouden kunnen verkrijgen. Er zijn eveneens tien verschillende mogelijke resultaten in de tweede stap. Wanneer we deze vermenigvuldigen, zoals Adler zegt, dan hebben we dus 10 x 10 = 100. Dus de kans is 1 op 100 dat we de twee gewenste munten in deze volgorde trekken. De waarschijnlijkheid is dan, gemiddeld gezien, 1/100.

Voordat de eerste trekking plaatsvond, wisten we intuïtief dat er een kans van 1 op 10 bestond dat we de munt met nummer 1 zouden trekken. [2] Daarom moet de kans die de tweede stap zal hebben, wat die kans ook is, vermenigvuldigd worden met een factor 1/10, omdat er slechts een kans van 1/10 op succes is in de eerste stap. Maar de tweede stap heeft ook een kans op succes van 1/10. Zoals we zojuist hebben gezien, zal deze met een waarschijnlijkheid van 1/10 uit de eerste stap moeten worden vermenigvuldigd. Dit geeft dan het antwoord voor beide stappen samen, wat dus 1/100 is. Als zo’n experiment maar lang genoeg zal worden voortgezet, dan zal in ongeveer één op de honderd pogingen de munt met nummer één gevolgd worden door de munt met nummer twee. Maar vergeet nu niet de wet van grote aantallen. Er zullen afwijkingen bestaan tenzij je meerdere honderden trekkingen uitvoert en deze uitmiddelt.

Het principe is: Als je eerst "deze uitkomst" bepaalt en dan "die uitkomst", dan is de kans om beide uitkomsten te verkrijgen het produkt van hun afzonderlijke waarschijnlijkheden, in gevallen waar de ene uitkomst de andere niet beinvloedt. George Gamow verwoordt dat als volgt:

"Hier hebben we de regel van ’vermenigvuldiging van waarschijnlijkheden’, die stelt dat je de mathematische waarschijnlijkheid om meerdere verschillende gebeurtenissen te verkrijgen kan bepalen door de mathematische waarschijnlijkheid van de verschillende individuele gebeurtenissen te vermenigvuldigen." [3]

Misschien lijkt dit wel een heleboel heisa over een onbelangrijke zaak. Mensen die gewend zijn wiskundig te denken of het principe al kennen, zullen dit gemakkelijk begrijpen. Maar voor de meeste mensen is het moeilijk te bevatten dat de kans zo klein is – slechts één op honderd. Dit is de gemiddelde uitkomst die je kan verwachten.

Als je er nog niet volledig van overtuigd bent dat het bovenstaande waar is, is het de moeite om voor dit onderwerp nog wat meer tijd uit te trekken. Het verstand kan enige tijd nodig hebben om dit idee te accepteren. Darrell Huff schreef dat "zelfs intelligente volwassenen het optellen van waarschijnlijkheden vaak verwarren met het vermenigvuldigen van waarschijnlijkheden". Dit is de reden dat feitelijke experimenten een grote hulp kunnen zijn. Het is belangrijk dat je zekerheid hebt over de waarheid van deze vermenigvuldigingsregel. Verder in dit boek zullen we snellere methoden voor experimenten laten zien die kunnen leiden tot een dergelijke zekerheid.

Maar deze ene regel is absoluut cruciaal voor deze benadering van de waarschijnlijkheid. Deze kan onder de knie worden gekregen door het voorgaande nog eens opnieuw te lezen en door te experimenteren zoals later zal worden beschreven, en door over de zaak na te denken totdat het verstand deze als waarheid zal accepteren. De volledige waarschijnlijkheidstheorie die in de wetenschap en de industrie wordt gebruikt is gestoeld op deze vermenigvuldigingsregel.

Volgende pagina


1 Irving Adler, Probability and Statistics for Everyman (New York: John Day Co., 1963), pp. 58, 59. [Terug naar de tekst]

2 Deze waarschijnlijkheid komt gedeeltelijk voort uit gelijkheid of symmetrie, en we kunnen de logica ervan intuïtief aanvoelen. [Terug naar de tekst]

3 Gamow, One, Two, Three–Infinity, p. 208. [Terug naar de tekst]